at.lærerveiledning

På denne siden vil vi kort si hvordan det digitale læremiddelet er bygget opp, og deretter gå mer i dybden av hvorfor vi mener du som lærer skal ta i bruk dette digitale læremiddelet. Her tar vi for oss hvorfor vi mener læremiddelet er et godt utgangspunkt for at alle elevene skal lære med forståelse, og knytter det opp mot temaer som tilpasset opplæring, differensiering, kommunikasjon, vurdering for læring, de åtte kompetansene, rike oppgaver, oppgavenes kognitive krav og grunnleggende ferdigheter. Men det er bare en kort redegjørelse og begrunnelse rundt de enkelte temaene. Er du interessert i å lese mer har vi henvist til mer litteratur underveis og nederst på siden. - **Hvordan siden er bygget opp** Siden tar for seg temaet geometri. Videre har vi delt geometri inn i ulike deltemaer. På startsiden har vi en introduksjonsvideo til elevene. Målet med videoen er å informere eleven om hvordan siden er bygget opp. For å ta hensyn til det multikulturelle klasserommet har vi valgt å utarbeide siden også på engelsk og de mest brukte ikke-norske språkene. De differensierte oppgavene skal bidra til at elevene får jobbe med utfordringer som er tilpasset deres nivå. Dette digitale læremiddelet har egen ressursside for læreren, der man får presentert de samme oppgavene som elevene. I tillegg vil læreren her få instruksjoner om hvordan opplegget skal gjennomføres, samt tips om hvilke misoppfatninger som er vanlige i de ulike deltemaene under geometri. Det er også utarbeidet eksempler på spørsmål som kan brukes for å skape refleksjon og kommunikasjon. For å komme inn på lærerens ressursside må man logge inn med navn og passord. På elevsiden er det bokser med ulike farger. I den oransje boksene vil eleven få informasjon om oppgaven. De blå boksene indikerer at eleven skal jobbe med oppgaven alene, mens de grønne boksene indikerer at de skal jobbe i grupper. Den første oppgaven er å lage et tankekart. Dette skal få frem eventuelle forkunnskaper samtidig som det skal vekke undring hos eleven. Dersom læreren går gjennom disse fargekodene på forhånd vil elevene kunne jobbe mer selvstendig etterpå. Dette frigjør tid som læreren heller kan bruke på å veilede elevene mens de jobber. Deretter skal elevene jobbe med dynamiske oppgaver med varierte metoder og vanskelighetsgrad. - **Hvorfor skal du ta i bruk denne siden?** Vi har som tidligere nevnt lagt vekt på differensierte oppgaver, slik at elevene kan møte utfordringer som er tilpasset deres faglige nivå. Dette har vi gjort både gjennom å lage rike, utforskende og problemløsende oppgaver, og gjennom at eleven kan gå tilbake til det temaet som tar for seg den forkunnskapen som må ligge til grunn for å forstå det nye som skal læres. Gjennom å arbeide utforskende med de dynamiske oppgavene kan elevene oppdage og se sammenhenger i geometri. På den måten ønsker vi å skape mestringsfølelse og motivasjon hos eleven, slik at dette igjen kan bidra til økt læringsutbytte. Oppgavene legger opp til kommunikasjon mellom elev-elev og elev-lærer. Det er lagt opp til klassediskusjoner både i forkant, under og etter arbeidet med oppgavene. Også bildene som er lagt ut på sidene bør diskuteres, da de er utformet nettopp for å skape refleksjon og kommunikasjon rundt de ulike temaene. Foruten at eleven lærer og sette ord på det matematiske, viser forskning at man gjennom refleksjon og kommunikasjon oppnår høyere grad av forståelse. Det er derfor viktig at elevene selv får konstruere sin egen forståelse gjennom at den som underviser stiller gode og åpne spørsmål, og unngår å komme med algoritmer eller de rette svarene. Elever som kommer med "feil" svar vil oppnå høyere grad av forståelse dersom han får mulighet til å finne ut hvorfor det ikke stemmer gjennom kommunikasjon. Også her er det viktig at læreren stiller spørsmål som åpner for elevens refleksjon, i stedet for å forklare eleven hvordan han bør tenke. I lærerinstruksjonen til de ulike oppgavene kommer vi derfor med eksempler på slike spørsmål.

**Vurdering for læring**
Etter hver oppgave skal elevene levere inn arbeidet digitalt. Her kan læreren avgjøre på forhånd om elevene skal levere inn et Word-dokument i fronter, eller om eleven kun skal sende inn svaret til Google Docs, eller begge deler. Vi anbefaler begge deler, siden lærer da både får en rask tilbakemelding underveis mens elevene jobber, men også et helhetlig bilde til slutt der man ser hvordan elevene har jobbet. Når elevene skal lagre i Word-dokumentet kan de selv eller lærer bestemme om de skal kopiere teksten, ta printscreen eller bruke utvklippsverktøy, men de dynamiske oppgavene må de ta printscreen av eller bruke utklippsverktøy. Dette gir læreren mulighet til å få et overblikk over klassens generelle forståelse, og samtidig avdekke vanlige misoppfatninger. En slik oversikt kan gjøre det enklere for læreren å tilpasse undervisningen i ettertid. Men den digitale innleveringen gir også en mulighet til å se hvordan den enkelte elev tenker, og på bakgrunn av det gi han eller henne gode og læringsfremmende tilbakemeldinger og framovermeldinger. Det er viktig at elevene skriver ned sine refleksjoner og løsningsforslag før man har felles gjennomgang av de enkelte oppgavene. - **Rike oppgaver** Vi ønsker med oppleggene at eleven skal utvikle en helhetlig matematisk kompetanse i emnet geometri. Kort fortalt handler det om å utvikle de åtte kompetansene som presenteres i tabellen under, som bygger på Mogens Niss og Thomas Høigaard Jensens rapport "Kompetencer og matematiklæring - ideer og inspirasjon til utvikling af matematikundervisning i Danmark" fra 2002. Det er dessuten et stort poeng at elevene har sine styrker og svakheter i de forskjellige kompetansene, derfor har vi lagt opp til et opplegg der elevene får bruke og utvikle sine sterke sider og styrke og utvikle sine svakere sider. Altså et opplegg som innehar alle, eller deler av alle kompetanseområdene. Problembehandlingskompetanse Modelleringskompetanse Resonnementskompetanse || Representasjonskompetanse Kompetanse i symbolbruk og formalisme Kommunikasjonskompetanse Hjelpemiddelkompetanse || Dersom du ønsker å vite mer om disse kompetansene kan du lese om modellen her: ([]).
 * Å spørre og svare i, med og om matematikk || Å omgås språk og redskaper i matematikk ||
 * Tankegangskompetanse

For at eleven skal utvikle og styrke disse åtte kompetansene har vi utarbeidet rike oppgaver. Rike oppgaver karakteriseres med at:
 * 1) Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse løsningsstrategier,
 * 2) Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å arbeide med det.
 * 3) Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og ta tid.
 * 4) Problemet skal kunne løses på ﬂere måter, med ulike strategier og representasjoner.
 * 5) Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier, representasjoner og matematiske ideer.
 * 6) Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder.
 * 7) Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problem.

Rike oppgaver kan du lese mer om her: [] - Gjennom å bruke rike oppgaver legger opplegget opp til en pedagogisk differensiering der elevene kan jobbe i heterogene grupper. Dette er viktig for å få til en undervisning der også elever med for eksempel matematikkvansker eller minoritetsspråklig bakgrunn inkluderes i klassefellesskapet. Læremiddelet skal være en ressurs i det det presenterer fellesoppgaver som går i dybden, samtidig som noen av dem er mer breddeorientert. Elevene blir også ressurser for hverandre når de jobber sammen og diskuterer oppgavene. De lærer gjennom å reflektere og gi hverandre tilbakemeldinger knyttet til det medeleven har kommet fram til, eller gjennom å argumentere for sitt eget forslag eller hypotese. Ved å bruke dette opplegget frigjøres også tid som læreren kan bruke til å veilede de ulike elevene og gruppene mens de arbeider. Dette samsvarer med Holms differensieringsmodell der nettopp læremiddelet, medelever og læreren er ressurser i det eleven konstruerer sin matematiske forståelse. Opplegget svarer også til Breiteig og Venheims differensieringsmodell, der læremiddelet er tenkt som en felles oppstart i de ulike temaene, men der man kan hende må legge opp til en utstrakt differensiering i etterkant. Enkelte elever må kanskje gå tilbake å gjennomføre hele eller deler av opplegget en gang til, eventuelt kombinere det digitale læremiddelet med konkretiseringsmateriell eller ta et skritt tilbake til det foregående temaet. Andre elever kan jobbe videre med mer utfordrende oppgaver. Når elevene leverer arbeidet inn digitalt får læreren mulighet til å kartlegge elevens forståelse, og dermed legge opp til en differensiert undervisning i ettertid. For å knytte det som elevene skal ha lært sammen er det viktig at læreren har en felles oppsummering til slutt, der viktige begreper og sammenhenger blir gjennomgått. Vi har bevisst valgt å bruke ulike farger på figurene. Det har vi gjort fordi enkelte elever kan bruke fargene for å gjenkalle det de har holdt på med tidligere, for eksempel at den røde trekanten passet til den gule. Dette kan være til hjelp for blandt annet elever med matematikkvansker. For å ta hensyn til elever med minoritetsspråklig bakgrunn har vi valgt å bruke lite tekst, og heller fokusere på utforskende oppgaver. Vi har utarbeidet siden i en engelsk versjon, samt de mest talte ikke-norske språkene. Vi ønsker med dette opplegget å skape en god overgang mellom den geometrien eleven møter på ungdomsskolen og den de møter på videregående i form av blant annet trigonometri. Derfor har vi lagt vekt på at eleven skal lære med forståelse gjennom selv å oppdage de matematiske ideene og sammenhengene.

Hvilken grad av elevaktivitet du får i undervisningen henger nøye sammen med hva slags oppgaver som blir fremmet for elevene. Oppgaver kan karakteriseres ut fra hvilken type tenkning elevene blir utfordret til for å kunne "løse" oppgavene. Nivåene deles inn i to typer lavnivå, som kun krever memorisering og reprodusering, og to typer høynivå, som krever forståelse av de ulike reglene og prosedyrene i matematikken og at eleven engasjerer seg i den matematiske tenkningen. Oppgaver på høynivå krever altså at eleven skal "gjøre matematikk". Våre oppgaver ligger innenfor det de to høyeste nivåene. Det innebærer at de krever at eleven gjennom å utforske, stille hypoteser, begrunne, reflektere, diskutere kommer frem til de matematiske ideene og sammenhengene, og eleven får dermed et større eierforhold og forståelse for matematikken. Dette er oppgaver som er åpne, rike, utforskende og problemorienterte.
 * Oppgavenes kognitive krav: **

- **Grunnleggende ferdigheter i matematikk** (fra LK06) Grunnleggende ferdigheter er integrert i kompetansemålene der de bidrar til utvikling av og er en del av fagkompetansen. I matematikk forstås grunnleggende ferdigheter slik: - //Å kunne uttrykke seg muntlig i matematikk innebærer å gjøre antakelser, stille spørsmål,// //argumentere og forklare en tankegang ved hjelp av matematikk. Det innebærer videre å delta i// //samtaler, kommunisere ideer, drøfte problemer og løsningsstrategier med andre.// - Denne ferdigheten må elevene ta i bruk når de diskuterer oppgavene grupper, eller når de argumenterer for sine hypoteser og forslag i klasseromsdiskusjoner. - //Å kunne uttrykke seg skriftlig i matematikk innebærer å løse problemer ved hjelp av// //matematikk, beskrive og forklare en tankegang og sette ord på oppdagelser og ideer. Det// //lages tegninger, skisser, figurer, tabeller og diagrammer. I tillegg brukes matematiske// //symboler og fagets formelle språk.//

Vi har tatt høyde for at elevene skal bruke og utvikle denne grunnleggende ferdigheten ved at de etter hver utforskende oppgave skal skrive ned hvordan de har tenkt og hva de har kommet fram til. Elevene skal også bruke Geogebra til å tegne figurer. - //Å kunne lese i matematikk innebærer å tolke og dra nytte av tekster med matematisk innhold// //og med innhold fra dagligliv og yrkesliv. Slike tekster kan inneholde ulike matematiske// //uttrykk, diagrammer, tabeller, symboler, formler og logiske resonnementer.//

I opplegget er det lite verbal tekst knyttet til de fleste av oppgavene. Allikevel må eleven kunne lese og tolke figurer og grafer, samt ha forståelse for matematiske begreper og symboler. Det matematiske språket er altså multimodalt, og ved å bruke dette digitale læremiddelet vil eleven kunne utvikle sine ferdigheter i å lese og tolke slike multimodale tekster. Læreren må bevisst jobbe med å veilede elevene slik at alle elever får styrket denne ferdigheten, og på den måten skape et bedre grunnlag for deres læring. Enkelte elever kan ha behov for ekstra veiledning. Dette gjelder for eksempel minoritetsspråklige elever eller elever med matematikkvansker, som kan ha vanskeligheter med å forstå matematiske begreper. - //Å kunne regne i matematikk utgjør en grunnstamme i matematikkfaget. Det dreier seg om// //problemløsning og utforskning med utgangspunkt i praktiske, dagligdagse situasjoner og// //problemer av matematisk art. Til dette trengs fortrolighet med og automatisering av// //regneoperasjonene, evne til å bruke varierte strategier, gjøre overslag og vurdere rimeligheten// //av svar.//

De dynamiske oppgavene er utforskende og problemløsende. Eleven må selv bruke de dynamiske figurene og tabellene til å finne ut av de matematiske sammenhengene. Disse figurene bruker de også til de beregningene som oppgaven spør etter. - //Å kunne bruke digitale verktøy i matematikk dreier seg om å kunne bruke slike verktøy til// //spill, utforskning, visualisering og publisering. Det dreier seg videre om å vite om, kunne// //bruke og vurdere digitale hjelpemidler til problemløsning, simulering og modellering. I tillegg// //er det viktig å kunne finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med passende// //hjelpemidler, samt forholde seg kritisk til kilder, analyser og resultater.//

Dette er et digitalt læremiddel som i hovedsak legger opp til problemløsning og utforskende aktiviteter. Opplegget består av rike oppgaver, der eleven bruker det digitale læremiddelet både til å løse oppgaver, men også til å føre oppgaver. Det digitale læremiddelet blir på en måte elevens kladdebok. Læremiddelet stiller krav til og utvikler dermed denne grunnleggende ferdigheten på flere måter. Det visuelle og dynamiske vil kunne skape en høyere grad av forståelse, og også bidra til at eleven motiveres til å jobbe med matematikken.

** Litteraturhenvisning: ** - Breiteig, T. (2007) Problemsløsning som inngangsport til matematikk. Tangenten, 1/2008, s. 35-40. - Breiteig, T. og Venheim, R. (2005) Matematikk for lærere 2. Universitetsforlaget  - Fauskanger, J., Mosvold, R., Bjuland, R. (2010) Hva må læreren kunne?. Tangenten, 4/2010, s. 35-38. - Holm, M. (2002). Opplæring i matematikk. For elever med matematikkvansker og andre elever. Oslo: Cappelens forlag - Karlsen, L. & Vinje-Christensen, P. (2009) Elevaktiv matematikkundervisning, Hvordan omsette didaktisk teori til praksis. I: - Kristiansen, T.E. (2005). Tilpasset opplæring innenfor fellesskapet. //Tangenten 2/2008//. Bergen: Caspar forlag. http://www.caspar.no/tangenten/2008/t-2008-2.pdf - Kunnskapsdepartementet 2006, __ [] __  - Lunde, O. (2001). Tilrettelagt opplæring for matematikkmestring. Olav Lunde og Info Vest Forlag - Lunde, O. (2008). Å tilpasse den tilpassede undervisningen. //Tangenten 2/2008//, s. 2-8. Bergen: Caspar forlag. http://www.caspar.no/tangenten/2008/t-2008-2.pdf - Lunde, O. (2010). //«Matematikkvansker i et spesialpedagogisk fokus». Hvorfor tall går i ball.// Bryne: Olav Lunde og Info Vest Forlag - Maagerø, E. (2009) “De langsomme tekstene. Om å lese i matematikk ”. Læsepedagogen 5/2009, s. 22-27. I: Lesing og skriving som grunnleggende ferdigheter våren 2011: Fakultet for humaniora og utdanningsvitenskap institutt for språkfag. - Merritt, E. G., Rimm – Kaufman, S. E., Berry III, R. O., Walkowiak, T. A., McCracken, E. R. (2010) A reflection framework for teaching math. The National Concil of techers of Mathematics.inc - Ostad, S.A. (2010). Matematikkvansker. En forskningsbasert tilnærming. Unipub - Skott, J., Jess, K., Hansen, H.C. (2009) Matematikk for lærerstuderende DELTA fagdidaktikk. Danmark, Forlaget Samfundslitteratur.